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      與等腰三角形相關的動態研究

       妍小青 2022-12-11 發表于上海
      對于等腰三角形的存在性問題,其難度和靈活度一直比較大,對于等腰三角形的存在性問題,主要有兩類解決方法:
      方法1:需要討論的三角形A不論從邊或是角的角度切入,計算復雜,此時若發現與之相似的三角形B有特殊角或者某條邊為定長,則只需要討論三角形B是等腰三角形的三種情況即可;
      方法2:需要討論的三角形中有特殊角或者邊之間存在一定的數量關系,那么就可以采取直接分類討論的方式進行。
      由于等腰三角形的存在性問題時動態的,因此等腰三角形的形態是由動點的位置所決定的,在這種情況,不可忽略“點在線段或其延長線上的分類討論的情況”,再對等腰三角形的存在性進行進一步地分類討論。

      從相似三角形角度切入法

      相似三角形角度

      基于“從相似三角形角度切入”的方法最早源于2016上海中考25題第(2)問,利用這種方法進行分類討論可以大大簡化運算量,但這種方法的難點在與發現相似的三角形。通??梢酝ㄟ^借助常見的基本圖形或基本模型發現相似三角形(如子母三角形或一線三等角模型)等,從而達到轉化的目的。

      解法分析:2017松江一模25題第(3)問是基于2016上海中考題進行變式的。通過發現與▲DEF相似的三角形(▲DBE)。▲DBE是已知一邊(DB)和一角(∠DBE的三角比)的三角形,當增加了等腰三角形的背景后,通過分類討論,借助等腰三角形的三線合一和銳角三角比,即可求出線段BE的長。

      解法分析:對于▲ANE為等腰三角形的分類討論,由于AN、AE、NE的長度都比較難求,因此聯想尋找與▲ANE相似的三角形。首先發現的是▲MNC,但是由于M和N都是動點,因此分類討論的難點也比較大。由于圖中隱藏了一對“一線三等角”模型,即▲ABM和▲CMN相似,因此最終對▲ABM進行分類討論,降低難度。

      解法分析:本題中▲PDF中由于三邊的長度都比較難求,因此尋找與▲PDF相似的三角形進行切入。由∠EDP=∠QDC,因此聯想與▲QDC相似,并且該三角形的一邊CD和一角∠C是確定的。但是這兩個三角形的相似是基于▲BDP和▲DEQ相似達成的,因此本題的難點在與相似三角形的證明上,而非等腰三角形的分類討論上,運用“逆向思維”倒推。

      上述4題中需要討論的三角形A中都有2個動點,并且三條邊都比較難求,通過尋找與三角形A相似的三角形B進行轉化。而三角形B往往有以下特點,已知一角(三角比或特殊角)和一邊,再加上等腰三角形的背景求出另一邊,從而進行問題解決。因此問題的難點就轉移到了如何證明三角形A和B相似,也就是橋梁的搭建。

      直接求解法

      直接求解法

      當無法找到與三角形A相似的三角形B時,可采用“直接求解法”。此時需要充分利用圖形中的邊角關系建立數量關系。同時也需要注意點在線段或其延長線上的分類討論問題。

      解法分析:本題中的點E可能在線段BC上,也可能在線段BC的延長線上,因此需要分類討論。同時,充分利用∠CDE=90°,發現圖中的等角,從而進行進一步地計算。

      解法分析:本題中的點P可以在線段CD或者CD的延長線上。當P在CD上時,是CP=PM的情況;當P在CD延長線上時,是CP=CM及CM=MP的情況。本題的難度在于輔助線的添加,充分利用CD是角平分線以及M是斜邊中點即可,但是做法比較巧妙,可以進行積累。

      對于直接求解法,其難點在于輔助線的添加和邊角數量關系的建立。對于每一種分類討論,都會有一些特殊的邊或角產生,因此借助這些特殊性以及圖中隱藏的基本圖形分析法進行問題解決,從而求出線段的長度。

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